Calcul de cosinus et de sinus - Corrigé

Énoncé

On pose `z=(1+i)(\sqrt{3}-i)` .

1. Déterminer la forme algébrique de `z` .

2. Déterminer une forme trigonométrique de `z` .

3. En déduire les valeurs de `\cos\frac{\pi}{12}` et de `\sin\frac{\pi}{12}` .

Solution

1. On a :
\(\begin{align*} z & =(1+i)(\sqrt{3}-i) = \sqrt{3}-i+i\sqrt{3}+1 =(\sqrt{3}+1)+i(\sqrt{3}-1). \end{align*}\)

2. On commence par déterminer le module et un argument de `z_1=1+i` et de `z_2=\sqrt{3}-i` .

D'une part, on a : \(\begin{align*} \left\vert z_1 \right\vert & = \left\vert 1+i \right\vert = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}. \end{align*}\)
On a alors : \(\begin{align*} z_1 & = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\right) \end{align*}\)
donc \(\arg(z_1) \equiv \dfrac{\pi}{4} \ [2\pi]\)  

D'autre part, on a : \(\begin{align*} \left\vert z_2 \right\vert & = \left\vert \sqrt{3}-i \right\vert = \sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2} = \times \sqrt{4} = 2. \end{align*}\)
On a alors : \(\begin{align*} z_2 & = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{-1}{2}\right) = 2\left(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right) \end{align*}\)
donc \(\arg(z_2) \equiv \dfrac{-\pi}{6} \ [2\pi]\)

On en déduit que : \(\begin{align*} \left\vert z \right\vert & = \left\vert z_1z_2 \right\vert = \left\vert z_1 \right\vert \times \left\vert z_2 \right\vert = 2\sqrt{2} \end{align*}\)
et que : \(\begin{align*} \arg(z) & \equiv \arg(z_1z_2) \equiv \arg(z_1)+\arg(z_2) \equiv \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6} \equiv \frac{3\pi}{12}-\frac{2\pi}{12} \equiv \frac{\pi}{12} \ [2\pi]. \end{align*}\)

Par conséquent, une forme trigonométrique de  `z` est :
\(\begin{align*} z=2\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{12}+i\sin\frac{\pi}{12}\right). \end{align*}\)

3. D'après les questions précédentes :
\(\begin{align*} (\sqrt{3}+1)+i(\sqrt{3}-1) & = 2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{12}+i\left(2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{12}\right). \end{align*}\)

Par unicité de la forme algébrique :
\(\begin{align*} 2\sqrt{2}\cos\frac{\pi}{12}=\sqrt{3}+1 \ \ \text{ et } \ \ 2\sqrt{2}\sin\frac{\pi}{12}=\sqrt{3}-1 \end{align*}\)
et donc : \(\begin{align*} \cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}} \ \ \text{ et } \ \ \sin\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}. \end{align*}\)